【スタッツ解説】ロバストＺスコアの有用性～パーセンタイルとＺスコアに替わる標準化～

はじめに
パーセンタイルとＺスコア
- 性質
- メリットとデメリット
ロバストＺスコア
具体例
ロバストＺスコアのデメリット
まとめ
出典

はじめに

ロバストＺスコア（Robust Z-Score）は、分布の歪みや外れ値の影響を軽減する標準化手法です。
本記事では、ロバストＺスコアについて、主流の標準化手法であるパーセンタイル（Percentile）やＺスコア（Z-Score）と比較しながら解説します。

📊 Why Robust Z-Score Matters

- A standardization method designed to reduce the impact of skewed distributions and outliers

- It can be seen as a middle ground between Percentile and Z-Score

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— efStats (@ef_Stats) 2025年12月29日

パーセンタイルとＺスコア

性質

選手のスタッツを比較する際、主に以下の2つの標準化手法が用いられている。

パーセンタイル
ある選手のスタッツがサンプル全体の中で何％の位置にいるかを、0–100%で表す指標。直感的で、データ分布の形状に依存しない。

Ｚスコア
ある選手のスタッツがサンプル平均からどれだけ離れているかを、標準偏差を単位として示す指標。サンプルが正規分布に従うことを前提とする。

特にパーセンタイルは、スタッツサイトで広く採用されており、多くのフットボールファンにとって馴染み深い。

メリットとデメリット

パーセンタイルとＺスコアにはそれぞれメリットとデメリットがある。

パーセンタイル
＋直感的、外れ値の影響を受けにくい
－データ間の距離の情報が失われる

Ｚスコア
＋データ間の距離の情報を保持する
－外れ値の影響を受けやすい、正規分布を前提とする

私たちは通常、これらの制約を受け入れ、特定のニーズに基づいて選択する。

ロバストＺスコア

ロバストＺスコアは、平均と標準偏差の代わりに中央値と正規化四分位範囲（normalized IQR, NIQR）を用いることで、Ｚスコアの主要な弱点を克服する。
計算手順は以下のとおり。

1. 四分位範囲（IQR）の計算：第３四分位数（Q₃, 75％点）から第１四分位数（Q₁, 25％点）を引く。

$IQR = Q_{3} - Q_{1}$

2. NIQRの計算：固定値1.3489で除算し、IQRを正規化。固定値は正規分布の確率分布関数から導出したF(0.75)とF(0.25)の差。

$NIQR = \frac{IQR}{1.3489}$

3. ロバストＺスコアの計算：測定値X_iと中央値をX_mの差をNIQRで除算する。

$Z = \frac{X_{i} - X_{m}}{NIQR}$

中央値と四分位数を用いるため、平均と標準偏差を使うＺスコアよりも外れ値の影響を受けにくい。また、サンプルが完全に正規分布であれば、中央値＝平均、NIQR＝標準偏差となり、ロバストＺスコアはＺスコアと同じ振る舞いをする。

具体例

導入

欧州五大リーグにおいてリーグ戦に1,350分以上出場したDMとCM（n=251）の過去365日のスタッツを用いて比較する。

まず、Progressive Passes*1 (PAdj)*2 をリーグ別にヴァイオリンプロットと箱ひげ図で可視化した。
フットボールでは、一部の優秀な選手が外れ値に近いスタッツを記録することが多く、下位50%よりも上位50%の方が分布の幅が広くなりがちである。これにより、Ｚスコアが前提とする「正規分布」が満たされない場合が出てくる。